مساحة المثلث

المثلث

يُعرّف المُثّلث (بالإنجليزية: Triangle) بأنّه أحد الأشكال الهندسيّةالمشهورة بالإضافة إلى المُربّع والدّائرة والمُستطيل، وهو عبارة عن مُضلّع مُكوّن من ثلاثة رُؤوس تصل بين ثلاث قطعٍ مُستقيمة.^[١]

أنواع المثلثات

من المُمكن أن تُصنّف المُثلثات حسب أطوال أضلاعها، وحسب حسب قياس الزوايا كالآتي:

أنواع المثلثات حسب أطوال أضلاعها

• مُثلّث مُتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle): وهو المُثلث الذي تتساوى أطوال جميع أضلاعه، وزواياه، بحيث تكون جميعها تُساوي 60°، كما يتميّز بأنّ الارتفاع ( الخط الواصل بين رأس المثلث إلى القاعدة) يُنصّف القاعدة، كما أن هذا المثلث يُحقق مُبرهنة فيفياني (بالإنجليزية: Viviani’s Theorem) والتي تنص على أنّ مجموع أطوال المسافات بين نُقطة داخل المُثلث، وأضلاع المثلث الثّلاثة تُساوي طول ارتفاع هذا المثلث.^[٢]
• مثلث متساوي الساقين (بالإنجليزية: Isosceles triangle): وهو المثلث الذي يتساوي طُول ضلعين فيه، وقياس زاويتي القاعدة، كما أنّ العمود النّازل من رأس المُثلث يُنصّف القاعدة، وزاوية الرّأس.^[٣]
• مثلث مُختلف الأضلاع (بالإنجليزية: Scalene triangle): وهو المُثلث الذي تختلف أطوال جميع أضلاعه، بحيث لا يُوجد هُناك ضلع يُساوي بطوله طول ضلعٍ آخر.

أنواع المثلثات حسب قياس الزوايا

تُصنّف المثلثات حسب قياس الزوايا الدّاخليّة إلى:^[١]

• مُثلّث قائم الزاوية (بالإنجليزية: Right-angled triangle): وهو المثلث الذي يمتلك زاوية قائمة (قياس الزاوية يساوي 90°)، ويُسمّى الضّلع المُقابل لهذه الزاوية بالوتر ويكون أطول أضلاع المُثلث، كما يكون مجموع قياس الزاويتين الأُخريين يُساوي 90°، وهو نوع المُثلث الوحيد الذي يُحقق نظرية فيثاغورس (بالإنجليزية: Phitagors theory)، والتي تنص على أنّ مجموع مُربّع طول الضلعين المُجاورين للزاوية القائمة يُساوي مُربّع طُول الوتر فيه.
• مثلث منفرج الزاوية (بالإنجليزية: Obtuse triangle): وهو المُثلث الذي فيه زاوية لها قياس أكبر من 90° وأقل من 180°.
• مثلث حاد الزوايا (بالإنجليزية: Acute triangle): وهو المثلث الذي يكون قياس جميع الزوايا فيه أقل من 90°.

حساب مساحة المثلث

يتم حساب مساحة المثلث بقوانين عدّة، حسب ما هو معلوم من أطوال أضلاعه، وقياس زواياه، كالآتي:

القانون الأول

إذا عُلم طُول كُلٍّ من قاعدة المُثلث والارتفاع:^[٤]

مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع

مثال: مثلث متساوي الساقين طول ضلعه 8 سم وطول قاعدته 8سم، وقيمة ارتفاعه 8 سم، ما مساحة المثلث؟

الحل: مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع

مساحة المثلث=½×8×8

مساحة المثلث=32 سم²

مثال: مثلث متساوي الأضلاع، طول أحد أضلاعه 4 سم، أما ارتفاعه 6 سم، فما مساحة المثلث؟

الحل:

مساحة المثلث=½×طول القاعدة×الارتفاع

مساحة المثلث=½×4×6

مساحة المثلث=12 سم²

وفي حالة المُثلث قائم الزاوية فإنّ القاعدة هي وتر المُثلث، أمّا الارتفاع فهو الخط الواصل بين رأس الزاوية القائمة على الوتر، وفي حال كانت قيمة الوتر مجهولة فإننا نمكن أن نجده باستخدام نظرية فيثاغورس وهي: مربع الوتر=مربع طول الضلع الأول+مربع طول الضلع الثاني.

مثال: جد مساحة مثلث قائم الزاوية، ارتفاعه 4 سم، وقياس أضلاع الزاوية القائمة فيه: 3 سم، 4 سم على التوالي.

الحل: أولاً: يتم إيجاد طول الوتر عن طريق نظرية فيثاغورس:

(الوتر)²=(3)²+(4)²

(الوتر)²=25

الوتر=5 سم

ثانياً: إيجاد مساحة المثلث:

مساحة المثلث=½×5×4

مساحة المثلث=10 سم²

القانون الثاني

إذا علم طول ضلعين والزاوية المحصورة بينهما:[٥]

مساحة المثلث=½ *طول الضلع الأول×طول الضلع الثاني×جا الزاوية المحصورة بينهما

مثال: مثلث طول ضلعين فيه 20سم، 50 سم على التوالي، والزاوية المحصورة بينهما تساوي 60°، جد مساحة المثلث.

الحل:

مساحة المثلث=الضلع الأول×الضلع الثاني×جاθ

مساحة المثلث=50*20*جا60°=866 سم²

مثال: جد قياس الزاوية المحصورة بين ضلعين في مثلث، أطوالهما 20 سم، 50 سم، ومساحة المثلث 866 سم².

الحل:

نجد جيب الزاوية من قانون مساحة المثلث كما يلي:

مساحة المثلث=20×50×جاθ

866=20×60×جا الزاوية

جا الزاوية=0.866

الزاوية=جا-1 (0.866)

الزاوية=60°

القانون الثالث

ويستخدم في حال معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث:[٦]

مساحة المثلث=(ح(ح-الضلع الأول)×(ح-الضلع الثاني)×(ح-الضلع الثالث))^)1/2

حيث ح: نصف محيط المثلث=(طول الضلع الأول+طول الضلع الثاني+طول الضلع الثالث)/2 وتعرف هذه الصيغة بصيغة هيرون (بالإنجليزية: Heron’s Formula)

مثال: جد مساحة المثلث الذي يبلغ طول ضلعه الأول 4 سم، وضلعه الثاني 5 سم، وضلعه الثالث 7 سم.

الحل:

أولاً: نجد قيمة نصف محيط المثلث:

ح=( 4+5+7)/2

ح=8 سم

ثانياً: نجد مساحة المثلث

مساحة المثلث=(8×(8-4)×(8-5)×(8-7))^(1/2)

مساحة المثلث=9.79 سم²

القانون الرابع

وهذا القانون يستخدم لقياس مساحة المثلث متساوي الأضلاعفقط:^[٧] مساحة المثلث=مربع طول الضلع*(3)^(1/2)/4

مثال: مثلث متساوي الأضلاع، طول ضلعه يساوي 8سم، جد مساحته.

الحل:

مساحة المثلث=مربع طول الضلع×(3)^(1/2)/4

مساحة المثلث=(8)^2×(3)^(1/2)/4

مساحة المثلث=27.7سم²

مثال: جد مساحة مثلث متساوي الأضلاع محيطه 9سم.

الحل:

محيط المثلث=الضلع الأول+الضلع الثاني+الضلع الثالث

ولأن المثلث متساوي الأضلاع: طول الضلع الأول=طول الضلع الثاني=طول الضلع الثالث

إذن طول الضلع=3/9

طول الضلع=3 سم

مساحة المثلث=مربع طول الضلع×(3)^(1/2)/4

مساحة المثلث=3.897 سم²

خصائص المثلثات

للمثلث خصائص رئيسية، وهي:^[٨]

• هُناك ستّة عناصر في أي مُثلث، وهي: ثلاث زوايا، وثلاثة أضلاع.
• مجموع زوايا أي مُثلث 180°.
• إنّ مجموع أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من قياس الضّلع الثالث.
• تتطابق المثلثات إذا كان قياس أضلاعها وزواياها المُتناظرة مُتساوية.
• يتشابه مثلثان إذا كانت الزوايا المُتناظرة مُتساوية، أو الأضلاع المُتناظرة مُتناسبة.
• مجموع قياس أي زاويتين في المثلث، يُساوي قياس الزّواية الخارجة للمثلث (بالإنجليزية: The exterior angle)، وهي الزّاوية المُجاورة للزّاوية الثّالثة.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} Geometry Center Staff, “The Definition of a Triangle”،Geometry Center, Retrieved 2016-11-26. Edited.
2. ↑ Art of Problem Solving Staff, “Viviani’s theorem”، Art of Problem Solving, Retrieved 2016-11-26. Edited.
3. ↑ Donna Roberts, “Isosceles Triangle Theorems “، Regents Exam Prep Center, Retrieved 2016-11-26. Edited.
4. ↑ Math Goodies Staff, “Area of a Triangle “، Math Goodies, Retrieved 2016-11-26. Edited.
5. ↑ Maths Is Fun Staff, “Area of Triangles Without Right Angles”،Maths Is Fun, Retrieved 2016-11-26. Edited.
6. ↑ College Algebra Modules Staff, “Area of a Triangle”، College Algebra Modules, Retrieved 2016-11-26. Edited.
7. ↑ Vitutor Staff, “Area of an Equilateral Triangle”، Vitutor, Retrieved 2016-11-26. Edited.
8. ↑ Easy Math Learning Staff, “TYPES OF TRAINGLES AND THEIR PROPERTIES”، Easy Math Learning, Retrieved 2016-11-26. Edited.